- Aufgabenstellung
- Kommentierte Lösung
- Kurzversion Lösung
In den Serien 3 und 4 sind verschiedene Aufgaben vorhanden, in welchen die Anwendung von Ableitungsregeln geübt werden kann.
In allen besprochenen Aufgaben geht es darum, eine gegebene Funktion abzuleiten (nach der Variablen, die im Argument der Funktion auftritt).
Einige davon werden hier ausführlicher gelöst:
Serie 3 Aufgabe 2 h)
\(f(x) = - 2{x^4} + 3{x^3} - 0.5{x^2} - 0.5x + 4\)
Serie 3 Aufgabe 2 m)
\(\displaystyle{f(x) = \frac{{2x - 5}}{{x + 3}}}\)
Serie 3 Aufgabe 6 b)
\(h(t) = \sqrt {5t} + 2\)
Serie 4 Aufgabe 4 g)
\(f(x) = \ln (2{x^3} - 1)\)
Serie 4 Aufgabe 5 e)
\(I(C) = (C + 2) \cdot {e^C}\)
Problem einordnen
Um eine Funktion korrekt ableiten zu können, müssen Sie natürlich zwingend die Ableitungsregeln kennen, die im Unterricht besprochen wurden.
Sie finden eine Zusammenstellung dieser Regeln im Skript MAT01 (Block II. LS4, Seite 8) oder hier als Direktlink.
Ebenso wichtig ist es aber, dass Sie die algebraische Struktur eines Funtionsterms erkennen können: handelt es sich um ein Produkt, eine Summe, eine zusammengesetzte (verschachtelte) Funktion?
Falls Ihnen Letzteres Mühe bereitet, sollten Sie im eMath-Kurs Vorkenntnisse Berufsmatura das Thema Variablen, Terme, Formeln, Gleichungen (und dort insbesondere den Abschnitt Termstrukturen) bearbeiten.
Serie 3 Aufgabe 2 h)
\(f(x) = - 2{x^4} + 3{x^3} - 0.5{x^2} - 0.5x + 4\)
Bei dieser Funktion handelt es sich um ein Polynom. Seine algebraische Struktur ist primär eine Summe; wir dürfen also "summandenweise" ableiten (gemäss Summenregel).
Die einzelnen Summanden sind Zusammensetzungen aus einer Potenzfunktion xn (für welche Sie über eine Ableitungsregel verfügen) und einem Faktor, der als multiplikative Konstante beim Ableiten stehen bleibt.
\(\begin{array}{left}f'(x) = - 2 \cdot ({x^4})' + 3 \cdot ({x^3})' - 0.5 \cdot ({x^2})' - 0.5 \cdot (x)' + (4)'\\ \; \qquad = - 2 \cdot 4{x^3} + 3 \cdot 3{x^2} - 0.5 \cdot 2x - 0.5 \cdot 1 + 0\\ \; \qquad = - 8{x^3} + 9{x^2} - x - 0.5\end{array}\)
Serie 3 Aufgabe 2 m)
\(\displaystyle{f(x) = \frac{{2x - 5}}{{x + 3}}}\)
Bei dieser Funktion handelt es sich um eine gebrochen rationale Funktion, also um einen Quotienten aus zwei Polynomen (welche hier sogar lineare Funktionen sind).
Wir benötigen also zunächst die Quotientenregel.
\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{{(2x - 5)' \cdot (x + 3) - (2x - 5) \cdot (x + 3)'}}{{{{(x + 3)}^2}}} }\)
\(\displaystyle{\qquad \; = \frac{{2 \cdot (x + 3) - (2x - 5) \cdot 1}}{{{{(x + 3)}^2}}}}\)
Die Ableitung ist damit gefunden; es stellt sich jetzt höchstens noch die Frage, wie weit sich dieser Term noch vereinfachen lässt. Beachten Sie, dass es prinzipiell wenig Sinn macht, den Nenner auszumultiplizieren, denn Sie würden damit eine Summenstruktur erhalten; weil man aber Summen nicht summandenweise kürzen darf, kann uns das nicht weiter bringen. Im Zähler hingegen schafft das Ausmultiplizieren eine Möglichkeit, gleichartige Summanden zusammenzufassen:
\(\displaystyle{f'(x) = \frac{{2x + 6 - 2x {\color {red} +} 5}}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{{11}}{{{{(x + 3)}^2}}}}\)
Serie 3 Aufgabe 6 b)
\(h(t) = \sqrt {5t} + 2\)
Diese Funktion besteht aus zwei Summanden: der erste ist eine Wurzelfunktion (siehe auch Ableitung von Wurzelfunktionen), der zweite ist eine additive Konstante und fällt beim Ableiten demnach weg.
Um den ersten Summanden abzuleiten, sind zwei Vorgehensweisen möglich:
Variante 1:
Der Ausdruck \( \sqrt {5t} \) ist eine zusammengesetzte Funktion: unter der Wurzel steht ja nicht die Variable t alleine, sondern eine Funktion dieser Variablen, nämlich die Funktion \(t \rightarrow 5t \).
Damit benötigen wir die Kettenregel; ausserdem ist es empfehlenswert, die Wurzel als Potenz mit Exponent 1/2 zu schreiben:
\(\displaystyle{h(t) = {(5t)^{^{\tfrac{1}{2}}}} + 2}\)
Nun lässt sich die äussere Funktion als Potenz ableiten:
\(\displaystyle{h'(t) = \tfrac{1}{2} \cdot {(5t)^{^{ - \tfrac{1}{2}}}} \color {blue}{\cdot 5} + 0 = 2.5 \cdot {(5t)^{^{ - \tfrac{1}{2}}}}}\)
In der Berechnung ist die innere Ableitung in blauer Schrift eingefärbt.
Variante 2:
Wir formen die Wurzel zuerst mit Hilfe von Wurzelregeln um:
\( \sqrt {5t} = \sqrt {5} \cdot \sqrt {t} \)
Damit wird der erste Summand strukturell zu einem Produkt aus einem konstanten Faktor \(\sqrt {5}\) (welcher beim Ableiten stehen bleibt) und einer Wurzelfunktion, deren Ableitung bekannt ist.
\(\displaystyle{h'(t) = \sqrt {5} \cdot \frac{1}{{2 \cdot \sqrt {t }}} + 0 = \frac{{\sqrt {5 }}}{{2 \cdot \sqrt {t} }}}\)
Kleine Übungsaufgabe: Zeigen Sie, das beide Ableitungsterme äquivalent sind.
Serie 4 Aufgabe 4 g)
\(\displaystyle{f(x) = \ln (2{x^3} - 1)}\)
Dies ist ein typisches Beispiel einer zusammengesetzten Funktion:
Zunächst wird der Variable x das "Zwischenergebnis"
\(u=2{x^3} - 1\)
zugeordnet. Dieses u dient als Input einer zweiten Funktion, nämlich der natürlichen Logarithmusfunktion ln.
Nach der Kettenregel müssen wir die Ableitungen der "äusseren" (blau) und sowie der "inneren" (rot) Funktion bilden und miteinander muliplizieren:
\(\displaystyle{f'(x) = \color {blue}{\frac{1}{{2{x^3} - 1}}}\cdot \color {red} {6{x^2}} = \frac{{6{x^2}}}{{2{x^3} - 1}}}\)
Serie 4 Aufgabe 5 e)
\(\displaystyle{I(C) = (C + 2) \cdot {e^C}}\)
Es handelt sich um ein Produkt aus einem (linearen) Klammerterm und einer Exponentialfunktion. Somit kommt die Produktregel zur Anwendung:
\(I'(C) = 1 \cdot {e^C} + (C + 2) \cdot {e^C}\)
Dieses Ergebnis könnte man so stehen lassen; doch in vielen Fällen (z.B. wenn man die Ableitung Null setzen muss, wie etwa bei der Suche nach Extrema) ist man mit einer Produktstruktur des Ergebnisterms besser bedient.
Wir klammern deshalb den Faktor \({e^C}\) noch aus:
\(\displaystyle{I'(C) = 1 \cdot {e^C} + (C + 2) \cdot {e^C} = (1 + (C + 2)) \cdot {e^C} = (C + 3) \cdot {e^C}}\)
Serie 3 Aufgabe 2 h)
\(f(x) = - 2{x^4} + 3{x^3} - 0.5{x^2} - 0.5x + 4\)
\(f'(x) = - 8{x^3} + 9{x^2} - x - 0.5\)
Serie 3 Aufgabe 2 m)
\(\displaystyle{f(x) = \frac{{2x - 5}}{{x + 3}}}\)
Quotientenregel:
\(\displaystyle{f'(x) = \frac{{2 \cdot (x + 3) - (2x - 5) \cdot 1}}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{{2x + 6 - 2x + 5}}{{{{(x + 3)}^2}}} = \frac{{11}}{{{{(x + 3)}^2}}}}\)
Serie 3 Aufgabe 6 b)
\(h(t) = \sqrt {5t} + 2\)
\(\displaystyle{h(t) = {(5t)^{^{\tfrac{1}{2}}}} + 2}\)
\(\displaystyle{h'(t) = \tfrac{1}{2} \cdot {(5t)^{^{ - \tfrac{1}{2}}}} \cdot 5 = \frac{5}{{2 \cdot \sqrt {5t} }} = \frac{{\sqrt {5 }}}{{2 \cdot \sqrt {t} }}}\)
Serie 4 Aufgabe 4 g)
\(\displaystyle{f(x) = \ln (2{x^3} - 1)}\)
Zusammengesetzte Funktion, deshalb Kettenregel:
\(\displaystyle{f'(x) = \frac{1}{{2{x^3} - 1}}\cdot 6{x^2}} = \frac{{6{x^2}}}{{2{x^3} - 1}}\)
Serie 4 Aufgabe 5 e)
\(\displaystyle{I(C) = (C + 2) \cdot {e^C}}\)
Mit Produktregel:
\(\displaystyle{I'(C) = 1 \cdot {e^C} + (C + 2) \cdot {e^C} = (1 + (C + 2)) \cdot {e^C} = (C + 3) \cdot {e^C}}\)